椭圆的面积公式推导 牟合方盖 牟合方盖体积公式推导

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椭圆的面积公式推导 牟合方盖 牟合方盖体积公式推导-第1张图片-知源网

一、刘徽为什么要设计“牟合方盖”

“牟合方盖”是魏晋时期的数学家刘徽设计的一个形状奇特的几何体。

在一个立方体内分别作纵横两个内接圆柱体,二者相交的部分即为牟合方盖。这里的“牟”表示相等,“盖”表示伞,这个几何体的外形好像是把两个方口圆顶的伞上下拼合在一起,故取此名。

他是想通过这个物体计算出球的体积。如今我们知道,球体积的计算公式为V=4/3πr3,这个公式的推导是古代数学的难点之一,在古代没有人知道这个计算公式,刘徽想通过“牟合方盖”计算出来。

西汉时期的《九章算术》认为,球体积为球直径立方的9/16。这个计算方法可能来源于实物测量或几何估算。

这样算出来的值要比实际值大1/6左右,误差相当大。此后东汉的张衡将其修正为球直径立方的5/8,可是它比《九章算术》的值差得更多。

刘徽在为《九章算术》作注的时候,发现以上两个计算公式都不准确。

一个原因可能是二者所用的π值都不精确,《九章算术》中取π值为3,张衡则取[插图],而刘徽运用割圆术得出π值约为3.14。

为此,刘徽设计了牟合方盖,并计算出球与牟合方盖的体积比为π:4,这样,只要算出牟合方盖的体积,便可得到正确的球积公式。

实际上牟合方盖又可以分为八个形状相同的小几何体,所以问题的关键便是如何计算这八个小几何体的体积。

遗憾的是,牟合方盖的形状太过奇特,刘徽最终没能推导出其体积的计算公式。他在为《九章算术》所写的注释中坦率地承认了这一点,并表示这个问题只能留待后人去解决了。

二、球体体积推导

牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法,类似于微元法。由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子,故称为牟合方盖。

《九章算术》的“少广”章的廿三及廿四两问中有所谓“开立圆术”,“立圆”的意是“球体”,古称“丸”,而“开立圆术”即求已知体积的球体的直径的方法。其中廿四问为:“又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何?”

开立圆术曰:“置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即丸径。”

从中可知,在《九章算术》内由球体体积求球体直径,是把球体体积先乘16再除以9,然后再把得数开立方根求出约得14300尺,约为4.76千米,换言之

当然这个结果对数学家而言是极之不满的,其中为《九章算术》作注的古代中国数学家刘徽便对这公式有所怀疑:

“以周三径一为圆率,则圆幂伤少;令圆囷为方率,则丸积伤多。互相通补,是以九与十六之率,偶与实相近,而丸犹伤多耳。”

来计算圆面积时,则较实际面积要少;若按

的比率来计算球和外切直圆柱的体积时,则球的体积又较实际多了一些。然而可以互相通补,但按

的比率来计算球和外切立方体体积时,则球的体积较实际多一些。因此,刘徽创造了一个独特的立体几何图形,而希望用这个图形以求出球体体积公式,称之为“牟合方盖”。

牟合方盖是当一正立方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时,两圆柱体的公共部分。刘徽在他的注中对“牟合方盖”有以下的描述:“取立方棋八枚,皆令立方一寸,积之为立方二寸。规之为圆囷,径二寸,高二寸。又复横规之,则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似阳马,圆然也。按合盖者,方率也。丸其中,即圆率也。”

其实刘徽是希望构作一个立体图形,它的每一个横切面皆是正方形,而且会外接于球体在同一高度的横切面的圆形,而这个图形就是“牟合方盖”,因为刘徽只知道一个圆及它的外接正方形的面积比为

,他希望可以用“牟合方盖”来证实《九章算术》的公式有错误。当然他也希望由这方面入手求球体体积的正确公式,因为他知道“牟合方盖”的体积跟内接球体体积的比为

,只要有方法找出“牟合方盖”的体积便可,可惜,刘徽始终不能解决,他只可以指出解决方法是计算出“外棋”的体积,但由于“外棋”的形状复杂,所以没有成功,无奈地只好留待有能之士图谋解决的方法:

“观立方之内,合盖之外,虽衰杀有渐,而多少不掩。判合总结,方圆相缠,浓纤诡互,不可等正。欲陋形措意,惧失正理。敢不阙疑,以俟能言者。”

而贤能之士要在刘徽后二百多年才出现,便是中国伟大数学家袓冲之及他的儿子祖暅,他们承袭了刘徽的想法,利用“牟合方盖”彻底地解决了球体体积公式的问题。

是到三个“外棋”的计算方法。他们先考虑一个由八个边长为

的正立方体组成的大正立方体,然后用制作“牟合方盖”的方法把这大正立方体分割,再取其中一个小正立方体部分作分析,分割的结果将跟右图所示的相同,白色部分称为“小牟合方盖”,它的体积为“牟合方盖”的八分之一,而紫红、黄和青色的部分便是三个“外棋”。

祖冲之父子考虑这个小立方体的横切面。设由小立方体的底至横切面高度为

,三个“外?”的横切面面积的总和为

来说,这个结果也是不变的。祖氏父子便由此出发,他们取一个底方每边之长和高都等于

的方锥,倒过来立着,与三个“外棋”的体积的和进行比较。设由方锥顶点至方锥截面的高度为

。换句话说,虽然方锥跟三个“外棋”的形状不同,但因它们的体积都可以用截面面积和高度来计算,而在等高处的截面面积总是相等的,所以它们的体积也就不能不是相等的了,所以祖氏云:

这条公式也就是正式的球体体积公式。

虽然本球体体积公式的出现比欧洲阿基米德的公式晚些,但由于方法以至推导都是由刘徽及祖氏父子自行创出,是一项杰出的成就。当中使用的“幂势既同,则积不容异。”,即“等高处截面面积相等,则二立体的体积相等。”的原理。一般认为是由意大利数学家卡瓦列利(Cavalieri)首先引用,称为卡瓦列利原理(Principle of Cavalieri),但事实上祖氏父子比他早一千年就发现并使用了这个原理,故又称“祖暅原理”。

三、球体积证明历史

一、历史上推导出球体体积公式的民族都有哪些

是中国人和古希腊人。球体积的计算是个相当复杂的问题。在《九章算术》中,球的体积公式相当于(是球的直径)。这是一个近似公式,误差很大。张衡曾V=916dd3经研究了这个问题,但没有得到更好的结果。刘徽发现了《九章算术》少广章所说的球与其外切圆柱的体积之比为π∶4的结论是错误的,并正确指出球与“牟合方盖”(两个底半径相同的圆柱垂直相交,其公共部分称为“牟合方盖”)的体积之比才是π∶4,把对于球体积问题的研究推进了一大步,但他没有能够解决牟合方盖体积的计算问题。二百年后,祖冲之和他的儿子祖暅才在这个问题上取得了突破。祖暅,字景烁,曾任梁朝员外散骑侍郎、太府卿、南康太守、材官将军、奉朝请等,也是南北朝时期著名的数学家和天文学家,著有《漏刻经》一卷,《天文录》三十卷等,均已失传。有的文献记载说《缀术》也是他所著,说他还曾参加阮孝绪编著《七录》的工作。祖冲之父子推算出牟合方盖的体积等于,从而得到正确的球体积公式233dV=16d=3π,彻底解决了球体积的计算问题。由于当时用圆周率π,227因此他们的球体积公式为。祖氏父子在推导牟合方盖体积公式的V=11213d过程中,提出了“幂势既同,则积不容异”(即二立体如果在等高处截面的面积相等,则它们的体积也必定相等)的原理。现在一般把这个原理称为“祖暅原理”。在西方,17世纪意大利数学家卡瓦列里重新提出这个原理,即被称为“卡瓦列里公理”,这个原理成为后来创立微积分学的重要的一步

是中国人和古希腊人。球体积的计算是个相当复杂的问题。在《九章算术》中,球的体积公式相当于(是球的直径)。这是一个近似公式,误差很大。张衡曾V=916dd3经研究了这个问题,但没有得到更好的结果。刘徽发现了《九章算术》少广章所说的球与其外切圆柱的体积之比为π∶4的结论是错误的,并正确指出球与“牟合方盖”(两个底半径相同的圆柱垂直相交,其公共部分称为“牟合方盖”)的体积之比才是π∶4,把对于球体积问题的研究推进了一大步,但他没有能够解决牟合方盖体积的计算问题。二百年后,祖冲之和他的儿子祖暅才在这个问题上取得了突破。祖暅,字景烁,曾任梁朝员外散骑侍郎、太府卿、南康太守、材官将军、奉朝请等,也是南北朝时期著名的数学家和天文学家,著有《漏刻经》一卷,《天文录》三十卷等,均已失传。有的文献记载说《缀术》也是他所著,说他还曾参加阮孝绪编著《七录》的工作。祖冲之父子推算出牟合方盖的体积等于,从而得到正确的球体积公式233dV=16d=3π,彻底解决了球体积的计算问题。由于当时用圆周率π,227因此他们的球体积公式为。祖氏父子在推导牟合方盖体积公式的V=11213d过程中,提出了“幂势既同,则积不容异”(即二立体如果在等高处截面的面积相等,则它们的体积也必定相等)的原理。现在一般把这个原理称为“祖暅原理”。在西方,17世纪意大利数学家卡瓦列里重新提出这个原理,即被称为“卡瓦列里公理”,这个原理成为后来创立微积分学的重要的一步

阿基米德(公元前287—前212年)在数学上的成就很多,其中他最感兴趣的是关于球体积公式的推导,他为了找到球体积的计算方法,先用一个空心的等边圆柱(就是圆柱底面圆的直径正好等于圆柱的高)的容器,里面装满了水。然后把一个直径等于这个圆柱高的球轻轻放进容器,再小心地把溢出的水收集起来,量出水的体积就是球的体积。他经过多次这样的实验,发现球的体积正好等于圆柱容器体积的。因为圆柱的体积是已知的,从而推导出球的体积公式。

阿基米德非常重视这个发现,嘱咐别人在他死后,能在他墓碑上刻上这个图形。这就是上面所提到的古坟墓碑上所刻的图案。

用微积分中的二重积分可以计算球的体积,但是,你如果不会微积分也没关系,还有另外的方法.用此方法的原理是祖堩原理,具体内容是:夹在两个平行平面的几何体,用与这两个平面平行的平面去截它们,如果截得的截面的面积总是相等,那么夹在这两个平面间的几何体的体积相等.为了应用组堩原理,需要找到符合条件的图形;(设球半径为R,Pi表示圆周率,"x^y"表示x的y次方)1、先将球分成两个半球,球出一个半球的体积就可求出球的体积;2、在半球顶上作一个与半球地面平行的平面;3、在这两个平面之间,构造一个圆柱体,使得它的高底面半径均等于球半径;4、然后,在构造的圆柱体中去掉以该圆柱体的上底面为底面,以该圆柱体的高为高的圆锥体的那部分体积,则所剩的部分体积为2(Pi*R^3)/3,5、用距离底面为h的平面去截这两个几何体,截得的半球的截面面积S1=Pi(R^2-h^2);截得的被去掉一个同底等高圆柱体的面积为S2=Pi(R^2-h^2),于是,在这两个平面之间,用平行于这两个平面的第三个平面截得的这两个几何体的截面积总有S1=S2;根据祖堩原理,这两个几何体的体积相等,于是就有半球的体积V/2=2(Pi*R^3)/3;因此,球体的体积公式为:V=4(Pi*R^3)/3o(∩_∩)o记得采纳哦,感激不尽.。

古希腊著名数学家阿基米德(公元前287—前212)在《处理力学问题的方法》利用“平衡法”求解体积,即“在数学上就是将需要求积的量(面积、体积等)分成许多微小单元(如微小线段、薄片等),再用另一组微小单元来进行比较,而后一组微小单元的总和比较容易计算。

只不过这两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的。”[4]因此,可以说阿基米德的平衡法体现了近代积分法的基本思想,阿基米德本人用它解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。

比如阿基米德用“平衡法”证明了球体积公式,即球的体积等于底面为球的大圆、高为球半径的圆锥的4倍。方法比较接近于现代的积分学祖冲之之子祖暅,利用祖氏定理“幂势既同,则积不容异”和“出入相补原理”方法,在牟合方盖的基础上,解决了刘徽绞尽脑汁未果的球体积问题,得出了球体积的正确公式。

从中可以看出在求解有关球的性质的时候,我国并没有涉及到微积分方法。求解球积问题的基本方法是构造方法,利用数学建模的方式求得与原来的问题等价,借助于外来的力量解决几何问题。

并且,刘祖二人在具体求解时,首先计算出了球的体积,而球的表面积成为历史遗留问题,直到清代才得以完全解决。

高中课本给出了圆球体积公式的证明过程,而椭球的体积公式是如何证明的呢?其实我们完全可以运用中学所学的知识来证明椭球的体积公式.下面的证明借鉴了高中课本中证明圆球体积公式的方法,但愿证明方法二也能引入到高中的课本中去.证明方法一:[注:此证明方法是刚读高一时,在没有学习到椭圆方程等的情况下作出的.此证明方法利用到了物理学中的液体压强公式 P=ρgh及压强的定义式 P=F/S.椭球体积公式的导出,起因于读初中时对液体压强公式的怀疑.此证明方法在此暂不给出.]证明方法二:如图(1),将底面直径皆为2b,高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上.以平行于平面β的平面于距平面β任意高d处可横截得到S圆及S环两截面.有 S圆=π(m2-d2)【1】 S环=πb2-πr2=π(b2-r2)因为 r/b=d/a(三角形相似)所以 S环=π(b2-b2d2/a2)【2】将M点的坐标值代入椭圆方程x2/b2+y2/a2=1中有(m2-d2)/b2+d2/a2=1即 m2-d2=b2-b2d2/a2【3】将【1】、【2】代入【3】得 S圆=S环再根据祖恒原理可知,这两个几何体是相等的.即 V椭/2=V柱-V锥=πab2-πab2/3即 V椭=4πab2/3当椭半球体的截面不是圆面而是椭圆面时,我们可推导得到椭球的体积公式为4πabc/3.下面的证明得到了新华网论坛昵称为瞎话瞎说 wdzg168等网友的帮助.特此致谢!〖点击阅读〗。

先用过球心的平面截球,球被截面分成大小相等的两个半球,截面⊙叫做所得半球的底面.

用一组平行于底面的平面把半球切割成层.

每层都是近似于圆柱形状的“小圆片”,我们用小圆柱形的体积近似代替“小圆片”的体积,它们的和就是半球体积的近似值.

(3)第三步:由近似和转化为精确和.

当无限增大时,半球的近似体积就趋向于精确体积.

2.定理:半径是的球的体积公式为:.

求球的体积只需一个条件,那就是球的半径.两个球的半径比的立方等于这两个球的体积比.

球内切于正方体,球的直径等于正方体的棱长;正方体内接于球,球的半径等于正方体棱长的倍(即球体对角钱的一半);棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球半径为.

也可以用微积分来求,不过不好写

四、球的体积公式是怎样推导出来的

球的体积公式:V=(4/3)πr3。2、祖冲之父子独立研究出的“祖暅原理”比阿基米德的研究内容要丰富,涉及的问题更复杂。祖冲之和他的儿子祖暅一起,用巧妙的方法解决了球体积的计算问题。3、《九章算术》中认为,球体的外切圆柱体与球体积之比等于正方形与其内切圆面积之比,刘徽为《九章算术》作注时指出,原书的说法是不正确的,只有“牟合方盖”(垂直相交的两个圆柱体的共同部分的体积)与球体积之比,才正好等于正方形与其内切圆的面积之比。但刘徽没有求出两圆柱体垂直相交部分的体积公式,所以也就得不出球体积公式。祖冲之父子应用“等高处横截面积常相等的两个立体,其体积也必然相等”这一原理,求出了“牟合方盖”的体积。而球体体积等于π/4乘以“牟合方盖”体积,从而最终算出球体积,这个公式就是著名的“祖暅公理”。4、可知:(1/2)V球=(2/3)πr3,最终可得,V球=(4/3)πr3。球体积的公式便由此推导而来。

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