大家好，今天小编来为大家解答一元一次方程100道例题这个问题，一元一次方程的解法 一元一次方程经典例题很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！
一、一元二次方程详细的解法,越相信越好。
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基
一元二次方程的一般形式为：ax2（2为次数，即X的平方）+bx+c=d,(a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的
例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2
方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=
例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项
系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2*a)
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
(3) 6x2+5x-50=0(选学）(4)x2-2(+)x+4=0（选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8化简整理得
x2-3x-10=0(方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0(方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0(转化成两个一元一次方程)
x(2x+3)=0(用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0(转化成两个一元一次方程)
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
(4)解：x2-2(+)x+4=0（∵4可分解为2·2，∴此题可用因式分解法）
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般
形式，同时应使二次项系数化为正数。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式
法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
例5．用适当的方法解下列方程。(选学）
（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0（2）x2+(2-)x+-3=0
（3） x2-2 x=-（4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差
公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。
（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。
（3）化成一般形式后利用公式法解。
（4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
（4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。(选学）
分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我
们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方
解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0
x2+px+()2=-q+()2(方程两边都加上一次项系数一半的平方)
当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论）
当p2-4q<0时，<0此时原方程无实根。
说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母
取值的要求，必要时进行分类讨论。
（一）用适当的方法解下列方程：
5. 3x2+1=2x 6.(2x+3)2+5(2x+3)-6=0
1.x2-ax+-b2=0 2. x2-(+)ax+ a2=0
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式）
（二）1．解：x2-ax+(+b)(-b)=0 2、解：x2-(+)ax+ a· a=0
[x-(+b)] [x-(-b)]=0(x- a)(x-a)=0
∴x-(+b)=0或x-(-b)=0 x- a=0或x-a=0
∴x1=+b，x2=-b是∴x1= a，x2=a是
1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（）
A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
2．多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（）。
A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7
3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个
4．一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（）。
5．方程x2-3x=10的两个根是（）。
A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5
7．方程2x2-0.15=0的解是（）。
C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-
8．方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（）。
9．已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（）。
A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1
答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
1．分析：移项得：(x-5)2=0，则x1=x2=5,
注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。
2．分析：依题意得：a2+4a-10=11,解得 a=3或a=-7.
3．分析：依题意：有a+b+c=0,方程左侧为a+b+c,且具仅有x=1时， ax2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1
4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零，
则ax2+bx+c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以 c=0.
另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单！
5．分析：原方程变为 x2-3x-10=0,
6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，则原方程无实根。
注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。
8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，x2-3x+(-)2=12+(-)2，
方程可以利用等式性质变形，并且 x2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。
9．分析：x2-2x=m,则 x2-2x+1=m+1
1．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2，那么k=__________。
评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去，构造成关于k的一元二次方程，然后求解。
2．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（）
（C）x1=3+2,x2=3-2（D）x1=3+2,x2=3-2
评析：用解方程的方法直接求解即可，也可不计算，利用一元二次方程有解，则必有两解及8的平方
一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二
在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它
的倒数之和等于一个已给数，即求出这样的x与，使
他们做出(2）；再做出，然后得出解答：+及-。可见巴比伦人已知道一元二次
方程的求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax2=b。
在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一个求根公式。在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c等。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次
给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。来自caicaiaizhuzhu
二、一元二次方程的四种解法例题和过程和方法
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的
例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2
方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=
例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项
系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
(3) 6x2+5x-50=0(选学）(4)x2-2(+)x+4=0（选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8化简整理得
x2-3x-10=0(方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0(方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0(转化成两个一元一次方程)
x(2x+3)=0(用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0(转化成两个一元一次方程)
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
(4)解：x2-2(+)x+4=0（∵4可分解为2·2，∴此题可用因式分解法）
三、一元一次不等式组的经典例题(简单的,带答案的)
(2)求不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解．
分析：对(1)小题中要明白“不小于”即“大于或等于”，用符号表示即为“≥”；(2)小题非负整数，即指正数或零中的整数，所以此题的不等式的解必须是正整数或零．在求解过程中注意正确运用不等式性质．
因为不大于4的非负整数有0，1，2，3，4五个，所以不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解是4，3，2，1，0．
(1)ax+2≤bx-1(2)m(m-x)＞n(n-x)
分析：解字母系数的不等式与解数字系数不等式的方法、步骤都是类似的，只是在求解过程中常要对字母系数进行讨论，这就增加了题目的难度．此类问题主要考察了对问题的分析、分类的能力：它不但要知道什么时候该进行分类讨论，而且还要求能准确地分出类别来进行讨论(结合例题解法再给与说明)．
此时要依x字母系数的不同取值，分别求出不等式的解的形式．
当m=n时，n-m=0，n2=m2，n2-m2=0，原不等式无解．这是因为此时无论x取任何值时，不等式两边的值都为零，只能是相等的，所以不等式不成立．
分析：由于x是未知数，所以把a看作已知数，又由于a可以是任意有理数，所以在应用同解原理时，要区别情况，分别处理．
(3)当a+3=0，即a=-3，得0·x≥12
说明：在处理字母系数的不等式时，首先要弄清哪一个字母是未知数，而把其它字母看作已知数，在运用同解原理把未知数的系数化为1时，应作合理的分类，逐一讨论．
例7 m为何值时，关于x的方程3(2x-3m)-2(x+4m)＝4(5-x)的解是非正数．
分析：根据题意，应先把m当作已知数解方程，然后根据解的条件列出关于m的不等式，再解这个不等式求出m的值或范围．注意：“非正数”是小于或等于零的数．
解：由已知方程有6x-9m-2x-8m=20-4x
例8若关于x的方程5x-(4k-1)=7x+4k-3的解是：(1)非负数，(2)负数，试确定k的取值范围．
分析：要确定k的范围，应将k作为已知数看待，按解一元一次方程的步骤求得方程的解x(用k的代数式表示之)．这时再根据题中已知方程的解是非负数或是负数得到关于k的不等式，求出k的取值范围．这里要强调的是本题不是直接去解不等式，而是依已知条件获得不等式，属于不等式的应用．
解：由已知方程有5x-4k+1=7x+4k-3
例9当x在什么范围内取值时，代数式-3x+5的值：
分析：解题的关键是把“是负数”，“大于”，“小于”，“不大于”等文字语言准确地翻译成数字符号．
所以当x取小于3的值时，-3x+5的值大于-4．
所以当x取大于2的值时，-3x+5的值小于-2x+3．
所以当x取大于或等于2的值时，-3x+5的值不大于4x-9．
说明：应用不等式知识解决数学问题时，要弄清题意，分析问题中数量之间的关系，正确地表示出数学式子．如“不超过”即为“小于或等于”，“至少小2”，表示不仅少2，而且还可以少得比2更多．
例11三个连续正整数的和不大于17，求这三个数．
解：设三个连续正整数为n-1，n，n+1
所以有四组：1、2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6．
说明：解此类问题时解集的完整性不容忽视．如不等式x＜3的正整数解是1、2，它的非负整数解是0、1、2．
例12将18.4℃的冷水加入某种电热淋浴器内，现要求热水温度不超过40℃，如果淋浴器每分钟可把水温上升0.9℃，问通电最多多少分钟，水温才适宜？
分析：设通电最多x分钟，水温才适宜．则通电x分钟水温上升了0.9x℃，这时水温是(18.4+0.9x)℃，根据题意，应列出不等式18.4+0.9x≤40，解得，x≤24．
答案：通电最多24分，水温才适宜．
说明：解答此类问题时，对那些不确定的条件一定要充分考虑，并“翻译”成数学式子，以免得出失去实际意义或不全面的结论．
例13矿山爆破时，为了确保安全，点燃引火线后，人要在爆破前转移到300米以外的安全地区．引火线燃烧的速度是0.8厘米/秒，人离开速度是5米/秒，问引火线至少需要多少厘米？
解：把2x+1看成一个整体y，由于当-4＜y＜4时，有|y|＜4，即-4＜2x+1＜4，
怎样才能正确而迅速地解一元一次不等式？现结合实例介绍一些技巧，供参考．
分析因为0.25×4=1，所以两边同乘以4要比两边同除以0.25来得简便．
约去公因数2后，两边的分母相同；②两个常数项移项合并得整数．
分析由分数基本性质，将分母化为整数和去分母一次到位可避免繁琐的运算．
思考：例5可这样解吗？请不妨试一试．
去括号一般是内到外，即按小、中、大括号的顺序进行，但有时反其道而行之即由外到内去括号往往能另辟捷径．
278(x-3)+351(6-2x)-463(3-x)＞0．
分析直接去括号较繁，注意到左边各项均含有因式x-3而逆用分配律可速解此题．
解视2x-1为一整体，去大、中括号，得3(2x-1)-9(2x-1)-9＞5，整体合并，得-6(2x-1)＞14，
分析将-3拆为三个负1，再分别与另三项结合可巧解本题．
③3｛3x+2-[2(3x+2)-1]｝≥3x+1．
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